LIMIT FUNGSI (MATEMATIKA XI )

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Sejarah

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. ^[1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. ^[2] Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an^[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.
Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.^[2]

Definisi

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

 Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |x - p|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) - L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

atau

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.
Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.
Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

 Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.
Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S.
Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

POLINOM (SUKU BANYAK)(MATEMATIKA XI )

Question Excerpt From POLINOM (SUKU BANYAK)

Q.1)	Jika dibagi oleh (x + 1), sisanya sama dengan ...

A.

19

B.

20

C.

21

D.

22

E.

23

Q.2)	Koefisien dari  adalah…

A.

1

B.

2

C.

-1

D.

-2

E.

-3

Q.3)	Sisa pembagian  dengan (x – 2) adalah…

A.

-2

B.

6

C.

10

D.

26

E.

34

Q.4)	Jika  dibagi x + 2, maka sisanya adalah…

A.

5

B.

3

C.

2

D.

-3

E.

-5

Q.5)	Jika  dibagi dengan  sisanya :

A.

B.

-1

C.

D.

E.

Q.6)	Jika ,   maka r = …

A.

0

B.

4

C.

14

D.

20

E.

30

Q.7)	Jika suku banyak 2x3 – x2 + ax + 7 dan x3 + 3x2 – 4x – 1 dibagi dengan (x + 1), akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a = …

A.

5

B.

10

C.

-10

D.

1

E.

-1

Q.8)	Suku banyak 2x3 + x2 + 4x + 4 dan 2x3 + x2 + 2x + a jika dibagi dengan 2x – 3 sisanya sama,  maka nilai a = …

A.

5

B.

7

C.

19

D.

-6

E.

1

Q.9)	Polinom f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 dan dibagi dengan (x + 5) sisanya 10. Jika f(x) dibagi dengan x2 + 3x – 10 maka sisanya adalah …

A.

x + 34

B.

x – 34

C.

2x + 20

D.

2x – 20

E.

x + 14

Q.10)	Bila f(x) dibagi oleh (x + 2) mempunyai sisa 14, dibagi (x – 4) sisanya –4 dan bila f(x) dibagi (x2 – 2x – 8) mempunyai sisa :

A.

3x – 8

B.

8x + 3

C.

2x + 4

D.

2x – 4

E.

–3x + 8

Q.11)	Harga k yang memenuhi kesamaan  x3 – 3x2 + 3x + 8 = (x – 2)(x2 – x + 1) + 2k adalah…

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

E.

5

Q.12)	Diketahui f(x) = x5 + ax2 + 4x – 10 dan f(1) = – 3. Nilai a adalah…

A.

-3

B.

-2

C.

-1

D.

1

E.

2

Q.13)	Suatu suku banyak f(x) dibagi (x + 2) sisanya –1 dan jika dibagi (x – 1) sisanya 2. Sisanya jika dibagi (x2 + x – 2) adalah….

A.

x – 4

B.

x + 3

C.

x + 2

D.

x – 2

E.

x + 1

Q.14)	Diketahui g(x) = 2x3 + ax2 + bx + 6 dan h(x) = x2 + x – 6 adalah faktor dari g(x).  Nilai a yang memenuhi adalah…..

A.

-3

B.

-1

C.

1

D.

2

E.

5

Q.15)	Bila x3 – 4x2 + 5x + p dan x2 + 3x – 2 dibagi oleh x + 1 mempunyai sisa sama, maka p = ….

A.

-6

B.

-4

C.

-2

D.

4

E.

6

Q.16)	Pernyataan yang benar di bawah ini :

A.	Jika  dibagi (x + 1), sisanya 1

B.	Jika f(x) dibagi (x – a), sisanya f(–a)

C.	Jika f(x) dibagi (ax + b), sisanya

D.	Jika  dibagi (x – 2), sisanya 8

E.	Jika  dibagi (x – 1), sisanya 0

Q.17)	Jika suku banyak 2x3 – x2 + ax + 7 dan x3 + 3x2 – 4x – 1 dibagi dengan (x + 1), akan diperoleh sisa yang sama. Nilai a = …

A.

5

B.

10

C.

-10

D.

1

E.

-1

Q.18)	Diketahui f(x)= x4 + 8x3 + ax2 + bx – 24. Jika x + 3 dan x – 1 adalah dua faktor dari suku banyak f(x), maka salah satu faktor lainnya adalah ....

A.

x + 6

B.

x + 4

C.

x + 1

D.

x – 4

E.

x – 3

Persamaan diferensial parsial(MATEMATIKA XI )

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

Pengantar

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .